让我们分析一下导热徽分方程式

　　运用傅里叶定律只能求解一维导热的问题，对多维温度场，则要以傅里叶定律和能量守恒定律为基础，建立导热微分方程式，然后求解。由导热微分方程式再根据一些单值条件，有时可以得到解析解，但许多情况下只能得到近似解。

　　推导导热微分方程式时，我们认为物体的物性人、P(比都是常量。如图3-5，在物体内取一微元体，各边长为dx，山。在dr时间内，沿x轴方向从左进人微元体中的热量，根据傅里叶定律。

　　二维稳定态导热的数值解法

　　利用导热微分方程式在给定的边界条件下求解，只有一些不太复杂的情况下才有可能，因此对于更复杂的多维温度场，一般只能用某些近似解法。下面简要介绍加热炉用张弛法求解的有限差分法，它以联立求解一组差分方程式代替对微分方程式的积分求解，在应用电子计算机以后，解联立方程式是轻而易举的。从而使一些复杂的导热问题能够得到数值解。

　　把一个具有二维温度场的物体(二轴方向无温度变化)。按等距离分成若干网格，如图3-6所示。网格的交叉点称为节点，取出其中一部分，得到若干相等的单元体1，2，3，4，单元体的边长分别等于dx和匀，厚度均为AZ，节点上相应的温度分别为tO，t，，t2，t:和t，温度不随时间而变，这说明在稳定态下，流向任何节点的热量总和为零。现在来分析单元体0的热量平衡关系，可得设所分析的物体共有n个节点，则同理可以得到n个差分方程式，联立求解，就能解出，个节点的沮度。张弛法就是解联立方程的方法之一。网格划分得越细，结果越接近实际的温度分布。

　　由于节点数目很多，张弛法解联立方程用手算很麻烦，但此法能较好地揭示有限差分法的物理实质，其具体步骤如下:

　　(1)假定各节点的温度值，如to，t)，t2，t7，t。等。

　　(2)将温度的初步假定值代入式(3-16)，由于估计的温度值不可能很准确，故式子的右侧不为零而有某个余数Q‘，求出各节点的余数。

　　 (3)对有余数的各节点，取其余数的1/4作为温度值的改变量，其符号与余数的正负号一致，使各节点的余数张弛为零。

　　 (4)再计算各节点的温度又有新的余数。再按上述办法改变余数的1/4。重复进行。直到所有余数都接近零为止。